Σημειώσεις Μαθηματικών Γυμνασίου - Λυκείου

Πληροφορίες Ύλης

Ο μαθητής εισάγεται για πρώτη φορά στις έννοιες των φυσικών αριθμών, των ρητών αριθμών και των δυνάμεων. Παράλληλα διδάσκεται κάποιες βασικές γεωμετρικές έννοιες και εμβαθύνει σε θέματα άλγεβρας που συνάντησε σε εισαγωγικό στάδιο στις τελευταίες τάξεις του Δημοτικού.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Η τάξη αυτή μας εισάγει στους πραγματικούς αριθμούς, τους άρρητους αριθμούς, καθώς και τη ρίζα ενός θετικού αριθμού. Παράλληλα, διδάσκονται για πρώτη φορά οι συναρτήσεις κι οι γραφικές τους παραστάσεις. Στον τομέα της Γεωμετρίας, ο μαθητής έρχεται σε επαφή με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα διανύσματα.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Η τρίτη τάξη του Γυμνασίου ολοκληρώνει την εικόνα που έχουν οι μαθητές για τις εξισώσεις και τις συναρτήσεις και τους μαθαίνει να χρησιμοποιούν ταυτότητες και παραγοντοποίηση και να λύνουν εξισώσεις β’ βαθμού και συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Αποτελεί την πλέον κομβική τάξη όσον αφορά την διδασκόμενη ύλη των Μαθηματικών.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Η ύλη των Μαθηματικών ξεκινάει από την πρώτη τάξη του Λυκείου να διαχωρίζεται σε Άλγεβρα & Γεωμετρία, με ξεχωριστά βιβλία. Η Άλγεβρα ανακεφαλαιώνει την ύλη που διδαχθήκαμε στο Γυμνάσιο (πιθανότητες, εξισώσεις/ανισώσεις, συναρτήσεις) και τις εμπλουτίζει. Η Γεωμετρία αναφέρεται στις βασικές ιδιότητες των τριγώνων και τα μοτίβα που παρατηρούνται σε σχήματα που περιέχουν παράλληλες ευθείες.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Στη δεύτερη τάξη του Λυκείου ο μαθητής καλείται -πέραν της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας- να ανταποκριθεί και στα Μαθηματικά κατευθύνσεως, αν δεν επιλέξει θεωρητική κατεύθυνση σπουδών. Στο βιβλίο της Άλγεβρας εισάγεται στην μονοτονία των συναρτήσεων και μαθαίνει πως να βρίσκει τα ακρότατα των γραφικών παραστάσεών τους. Παράλληλα μαθαίνει τις λογαριθμικές και τις εκθετικές συναρτήσεις και τους τρόπους επίλυσής τους. Η Γεωμετρία ασχολείται με τις αναλογίες και την ομοιότητα σχημάτων. Τέλος, η ύλη των Μαθηματικών κατεύθυνσης προσθέτει έννοιες των κωνικών τομών και εξηγεί τη μέθοδο χρήσης των διανυσμάτων.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Οι μαθητές επιστρέφουν στα δύο βιβλία, ένα ως γενική ύλη κι ένα ως κατεύθυνση σπουδών. Στο πρώτο γνωρίζουν το διαφορικό λογισμό και την επιστήμη της Στατιστικής, ενώ στο δεύτερο διδάσκονται τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης κι ολοκληρώνουν με την θεωρία του Ολοκληρωτικού λογισμού.

Τα σημεία-κλειδιά της ύλης θα προστίθενται σταδιακά παρακάτω, καθ’όλην τη διάρκεια της χρονιάς.

Σεπτέμβριος 2019

Ο πρώτος εκπαιδευτικός μήνας θα επικεντρωθεί στη μετάβαση των μαθητών στις απαιτήσεις του Γυμνασίου. Με τον σκοπό αυτόν θα καλυφθούν οι 2 πρώτες ενότητες (φυσικοί αριθμοί & πράξεις μεταξύ τους), ενώ για πρώτη φορά οι μαθητές θα βρεθούν να διδάσκονται ξεχωριστά τις έννοιες της Γεωμετρίας από την Άλγεβρα. Έτσι, θα μελετήσουν παράλληλα τις 4 πρώτες ενότητες του 1ου κεφαλαίου του Β’ μέρους (Γεωμετρία).

Οι μαθητές θα παρατηρήσουν πως η θεωρία της Άλγεβρας τους είναι οικεία στην πράξη, όμως υπάρχουν σημεία που χρειάζονται ουσιαστική κατανόηση. Ο ορισμός των φυσικών αριθμών (σελ. 11) κι οι ιδιότητες των πράξεων τους (σελ. 15) αποτελούν κομβικά σημεία, που θα φανούν απαραίτητα καθ’όλην τη μαθητική τους σταδιοδρομία.

Στο κομμάτι της Γεωμετρίας, οι κεντρικές έννοιες της ευθείας, του επιπέδου, της γωνίας και της απόστασης, υπενθυμίζονται στον μαθητή. Ο τελευταίος, καλείται να εξοικειωθεί με αυτές με την οπτική βοήθεια που του προσφέρουν οι εφαρμογές και τα παραδείγματα που συνοδεύουν τη θεωρία. Συχνά, οι μαθητές μελετούν μόνο τα θεωρητικά κομμάτια, χάνοντας έτσι μια σημαντική βοήθεια προς τη σωστή κατανόηση.

Ο μήνας Σεπτέμβριος επιστρέφει στο βιβλίο της Α’ Γυμνασίου για να διδαχθεί ο μαθητής τις ενότητες 7.7 & 7.8.

Το κομμάτι που θα του φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο για τη συνέχεια, είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων που θα βρει στις σελίδες 137-8.

Ο πρώτος μήνας είναι εισαγωγικός, ξεκινάει με επαναλήψεις στην ύλη των πραγματικών κι υπενθυμίζει στον μαθητή τα κύρια χαρακτηριστικά των τριγώνων.

Είναι μια καλή ευκαιρία να επαναφέρει ο μαθητής στη μνήμη του τα πρόσημα στις πράξεις, τις ιδιότητες πράξεων και δυνάμεων, αλλά κι εκείνες των ριζών που συχνά τον δυσκολεύουν.

Οι μαθητές διδάσκονται πλέον ξεχωριστά Άλγεβρα και Γεωμετρία. Η Άλγεβρα εισάγει τον μαθητή στις βασικές έννοιες των συνόλων, προτού προχωρήσει σε κάποιες επαναληπτικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών στην ενότητα 2.1. Η διδασκαλία της Γεωμετρίας ξεκινάει από την ενότητα 3.1, που μαζί με την 3.2 αναλαμβάνουν να υπενθυμίσουν και να εμβαθύνουν στα κριτήρια ισότητας των τριγώνων.

Η Άλγεβρα της νέας χρονιάς ξεκινάει με τις πρώτες 3 ενότητες: 1.1-2.1. Ο μαθητής θα γνωρίσει για πρώτη φορά την ορίζουσα ως μέθοδο επίλυσης γραμμικών συστημάτων, ενώ η μονοτονία και τα ακρότατα αποτελούν έννοιες που θα του φανούν εξαιρετικά χρήσιμες στη συνέχεια.

Η Γεωμετρία θα ξεκινήσει με τις ενότητες 7.4-7.7, με το θεώρημα του Θαλή να αποτελεί το σημείο αναφοράς. Η απόδειξή του είναι εκτός ύλης.

Τέλος, τα μαθηματικά προσανατολισμού, με την ενότητα 1.1 να συγκεντρώνει εισαγωγικές έννοιες κι ιδιότητες των διανυσμάτων.

Τα μαθηματικά γενικής παιδείας ξεκινούν φέτος υπενθυμίζοντας στον μαθητή βασικές έννοιες των πραγματικών συναρτήσεων, όπως της συνέχειας, την οποία και θα χρειαστεί να κατανοήσει πλήρως προτού συνεχίσει στις επόμενες ενότητες.

Τα μαθηματικά προσανατολισμού ξεκινούν, με τις 3 πρώτες ενότητες να αφορούν επίσης τις πραγματικές συναρτήσεις. Όμως ο μαθητής καλείται να αποκτήσει μια πιο αυστηρή μαθηματική “οπτική” και παράλληλα να τις συνδέσει με τις γραφικές τους παραστάσεις. Σημαντικό σημείο αποτελεί η σύνθεση δύο συναρτήσεων.

Οκτώβριος 2019

Αυτός ο μήνας θα ξεκινήσει προσπερνώντας την ενότητα των δυνάμεων στην Άλγεβρα, θα ολοκληρώσουμε το 1ο κεφάλαιο και θα προχωρήσουμε έως ένα σημαντικό σημείο το κεφάλαιο 2 (κλάσματα). Πιο συγκεκριμένα, οι μαθητές θα συναντήσουν την ακριβή διαδικασία της διαίρεσης, οι ιδιότητες της οποίας θα τους οδηγήσουν στις πολύ ουσιαστικές έννοιες του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλασίου (ΕΚΠ) και του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ). Η σωστή κατανόηση των δύο αυτών εννοιών κι η μέθοδος εύρεσής τους, αποτελούν απαραίτητα εφόδια για τη συνέχεια στην ύλη των κλασμάτων. Όσον αφορά την έννοια των κλασμάτων, οι μαθητές θα χρειαστεί να επικεντρωθούν στη μετατροπή τους σε ομώνυμα, καθώς και την απλοποίησή τους.

Το κομμάτι της Γεωμετρίας αυτού του μήνα, δεν πρόκειται να δυσκολέψει τους μαθητές, με τη διχοτόμο να αποτελεί μια νέα κι ενδιαφέρουσα ως προς τη συνέχεια “γνωριμία”.

Τον μήνα Οκτώβριο, ο μαθητής ολοκληρώνει το κεφάλαιο 7 της προηγούμενης χρονιάς και ξεκινάει με την πρώτη ενότητα του νέου βιβλίου, τις αλγεβρικές παραστάσεις. Παράλληλα, μελετάει στις 2 πρώτες ενότητες της Γεωμετρίας (Β’ μέρος) έννοιες σχετικές με την επιφάνεια των σχημάτων.

Προτείνουμε να εστιάσετε στις επιπλέον ιδιότητες των δυνάμεων που σας προσφέρει η ενότητα 7.9 και να διαβάσετε τα παραδείγματα αριθμητικών & αλγεβρικών παραστάσεων της νέας ενότητας 1.1. Στο κομμάτι της Γεωμετρίας, είναι σημαντικό να μπορείτε να μετατρέπετε τις μονάδες μέτρησης των επιφανειών, σε όποια σας ζητήσουν.

Ο μήνας Οκτώβριος προχωράει με τις ενότητες 1.2-1.5 του μέρους Α, καθώς και την ισότητα μεταξύ τριγώνων, από το μέρος Β.

Τα πιο ουσιώδη σημεία αφορούν τη διαχείριση των πολυωνύμων ως άθροισμα μονωνύμων, ώστε να πραγματοποιήσουμε τις πράξεις μεταξύ τους. Η ενότητα 1.5, που αφορά τις κυριότερες ταυτότητες αποτελεί -εκτός του σημείου (ε)- ίσως το σημαντικότερο σημείο της φετινής ύλης της Άλγεβρας. Όμως και στο κομμάτι της Γεωμετρίας, τα κριτήρια ισότητας τριγώνων είναι πολύ σημαντικά, μετατρέποντας έτσι τον Οκτώβριο σε μήνα-κλειδί των Μαθηματικών της Γ τάξης.

Η Άλγεβρα τον Οκτώβριο προχωράει στις ενότητες 2.2 & 2.3, οι οποίες υπενθυμίζουν και παρουσιάζουν πιο επιστημονικά τις έννοιες του διαστήματος και της απόλυτης τιμής, τις οποίες ο μαθητής έχει ήδη γνωρίσει από το Γυμνάσιο.

Η Γεωμετρία επεκτείνεται στις ενότητες 3.3-3.7 και 3.10-3.11, οι οποίες συνεχίζουν τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων, προσφέρουν σχετικά πορίσματα και τα συνδέουν με τις κάθετες πλευρές. Ακόμη, εισάγουν το μαθητή στην έννοια του γεωμετρικού τόπου και του υποδεικνύουν σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών σε ένα τρίγωνο.

Η Άλγεβρα συνεχίζει με τις ενότητες 2.2 & 3.1. Ο μαθητής χρειάζεται να κατανοήσει και να απομνημονεύσει τα πινακάκια της σελίδας 52.

Η Γεωμετρία του μήνα, περιλαμβάνει τις ενότητες 7,8 & 8.1-8.2. Ο μαθητής θα χρειαστεί να κατανοήσει κι απομνημονεύσει τα 3 κριτήρια ομοιότητας των τριγώνων, χωρίς όμως τις αποδείξεις τους.

Στα μαθηματικά προσανατολισμού, θα προχωρήσει στις ενότητες 1.2-1.4. Θα χρειαστεί να εστιάσει αφενός στις ιδιότητες των πράξεων μεταξύ διανυσμάτων κι αφετέρου στο μέτρο του αθροίσματός τους.

Τα μαθηματικά γενικής παιδείας συνεχίζουν με τις 2 επόμενες ενότητες (1.2-1.3), που αφορούν την παράγωγο μιας συνάρτησης. Ο μαθητής καλείται αρχικά να την αντιληφθεί ως ρυθμό μεταβολής και στη συνέχεια, να μπορεί να την υπολογίζει με τη βοήθεια των βασικών τύπων και κανόνων παραγώγισης. Ο πίνακας της σελίδας 33 αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα σημεία της φετινής ύλης.

Στα μαθηματικά προσανατολισμού, ο μήνας Οκτώβριος προχωράει με τις ενότητες 1.4-1.7. Σε αυτές διδάσκεται το όριο, όπου η έννοια του πλευρικού ορίου είναι κομβική κι ολόκληρη η ενότητα 1.5 αποτελεί σημείο-κλειδί. Τέλος, στην ενότητα 1.7 μαθαίνει να υπολογίζει τα όρια των συνηθέστερων τύπων συναρτήσεων.